（1）联合分布

离散型

如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。

设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称

为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

连续型

对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<><><><>< span="">有<><><><>

则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

（1） f(x,y)≥0;

（2）

（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1);

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）

（5）对于

.

（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

；

Y的边缘分布为

。

连续型

X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

；

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立性

一般型

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型

有零不独立

连续型考研

f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

y

1

D1

O 1 x

图3.1

y

1

O 2 x

图3.2

y

d

c

O a b x

图3.3

（9）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（

但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

对于连续型，fZ(z)＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

，

Z=max,min(X1,X2,…Xn)

若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

分布

设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性：设

则

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

F分布

设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).